非線形方程式の解法について

代表的な非線形方程式の数値計算解法についてまとめていきます。

 ・逐次代入法

 ・Steffensen法

 ・2分法

はさみうち法

 ・ニュートン法

 ・各数値計算法の特徴

逐次代入法

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配管の摩擦係数を求める際に使えます。

こちらに使い方をまとめています。

Steffensen法

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BWRS式の解を得る際に使用してみました。 

こちらに計算結果をまとめています。

2分法

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はさみうち法

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ニュートン法

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各数値計算法の特徴

2分法、はさみうち法、ニュートン法のそれぞれの特徴を状態方程式の3次式を求める例で確認してみます。 

以下の条件で、Methaneの圧縮係数をPeng-Robinson(PR)で求めてみます。 

温度:111.587[K]、圧力:101.325[kPa]。なお、臨界定数は以下の値を使用しています。

偏心因子:0.01155[-]、臨界温度:190.56[K]、臨界圧力:4599[kPa]。

詳細な計算は、いずれVBAのページにまとめていきますので、ここでは簡単に結果だけまとめます。

物性推算法のPRのページで紹介したように、zの3次方程式を求めると、今回の条件では以下の式となります。

$$f(z)=z^3-0.997x^2+0.0291x-9.41^-5$$

z対f(z)をグラフで表すと、以下のようになります。

Zvsfz

各解法での収束状況をグラフとテーブルで確認してみます。

まずはテーブル

ConvTable

グラフは以下のようになります。

ConvGraph

今回収束の条件として誤差10^-8とし、ほぼ同様の初期条件から計算を開始しておりましたが、2分法、はさみうち法は収束まで20回以上の計算が必要になっています。

2分法には更に注意点があります。

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