Redlich-Kwong constantの求め方
・RK式は以下の通り。
$$p = {\frac{RT}{v-b} - \frac{T^{-0.5}a}{v(v+b)}} \tag{1.1}$$
(1.1)式の1/v-1/(v+b)を分解し、
$$p = \frac{RT}{v-b} - \frac{a}{bT^{0.5}}\left(\frac{1}{v}-\frac{1}{v+b}\right) \tag{1.2}$$(1.2)式の一階微分は、
$$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T = \frac{RT}{(v-b)^2} - \frac{a}{bT^{0.5}}\left(-\frac{1}{v^2}+\frac{1}{(v+b)^2}\right) \tag{1.3}$$(1.2)式の二階微分は、
$$\left(\frac{\partial^2 p}{\partial v^2}\right)_T = \frac{2RT}{(v-b)^3} - \frac{2a}{bT^{0.5}}\left(\frac{1}{v^3}-\frac{1}{(v+b)^3}\right) \tag{1.4}$$臨界点においては、(1.3)式、(1.4)式=0。(詳細はこちら)
まず(1.3)式\(\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T=0\)より以下
$$ \frac{RT_c}{(v_c-b)^2} = \frac{a}{bT_c^{0.5}}\left(-\frac{1}{v_c^2}+\frac{1}{(v_c+b)^2}\right) $$ $$ \qquad \quad= \frac{a}{T_c^{0.5}}\left(\frac{2v_c+b}{v_c^2(v_c+b)^2}\right) \tag{1.5}$$続いて(1.4)式\(\left(\frac{\partial^2 p}{\partial v^2}\right)_T=0\)より以下
$$\frac{2RT_c}{(v_c-b)^3} = \frac{a}{bT_c^{0.5}}\left(-\frac{1}{v_c^3}+\frac{1}{(v_c+b)^3}\right) $$ $$ \qquad \quad= \frac{a}{T_c^{0.5}}\left(\frac{3v_c^2+3bv_c+b^2}{v_c^3(v_c+b)^3}\right) \tag{1.6}$$
(1.5)式/(1.6)式より、
$$v_c-b = \frac{(2v_c+b)v_c(v_c+b)}{3v_c^2+3bv_c+b^2} $$ $$(v_c-b)(3v_c^2+3bv_c+b^2) = (2v_c+b)v_c(v_c+b) \tag{1.7}$$
(1.7)式を整理すると、以下の３次方程式となる。
$$-v_c^3+3bv_c^2+3b^2v_c+b^3=0 \tag{1.8}$$
(1.8)式をbについて解くと、
\((b+v_c)^3=2v_c^3\)より、
$$ b=(2^{1/3}-1)v_c=0.25992106....v_c \tag{1.9}$$
ここで、(1.5)式をaについて解くと、
$$ a = \frac{v_c^2(v_c+b)^2RT_c \cdot T_c^{0.5}}{(v_c-b)^2(2v_c+b)} \tag{1.10}$$(1.9)式\(b=(2^{1/3}-1)v_c\)を代入すると、
$$ a = \frac{v_c^2 \cdot 2^{2/3}v_c^2RT_c \cdot T_c^{0.5}}{(2-2^{1/3})v_c^2(1+2^{1/3})v_c} $$ $$ a = \frac{2^{2/3}v_cRT_c \cdot T_c^{0.5}}{(4-4\cdot2^{1/3}+2^{2/3})(1+2^{1/3})}$$ $$ a = \frac{2^{2/3}v_cRT_c \cdot T_c^{0.5}}{3(2-2^{2/3})} $$ $$ a = \frac{v_cRT_c \cdot T_c^{0.5}}{3(2^{1/3}-1)} \tag{1.11}$$また、
$$ z_c=\frac{p_cv_c}{RT_c}=\frac{v_c}{v_c-b}-\frac{a}{RT_c^{3/2}(v_c+b)} \tag{1.12}$$に(1.9)式\(b=(2^{1/3}-1)v_c\)を代入し、
$$ z_c=\frac{v_c}{(2-2^{1/3})v_c}-\frac{a}{RT_c^{3/2}2^{1/3}v_c} \tag{1.13}$$(1.11)式\(a = \frac{v_cRT_c \cdot T_c^{0.5}}{3(2^{1/3}-1)}\)を代入し、
$$ z_c=\frac{1}{(2-2^{1/3})}-\frac{1}{3(2^{2/3}-2^{1/3})} $$ $$ z_c=\frac{3(2^{2/3}-2^{1/3})-(2-2^{1/3})}{(2-2^{1/3})3(2^{2/3}-2^{1/3}))} $$ $$ z_c=\frac{3 \cdot 2^{2/3}-2 \cdot 2^{1/3}-2}{3 \cdot (3 \cdot 2^{2/3}-2 \cdot 2^{1/3}-2)} $$ $$ z_c=\frac{1}{3} \tag{1.14}$$よって、\(z_c=\frac{p_cv_c}{RT_c}\)より、
$$ v_c=\frac{RT_c}{3p_c} \tag{1.15}$$(1.11)式\(a = \frac{v_cRT_c^{1.5}}{3(2^{1/3}-1)}\)に、(1.15)式を代入し、
$$ a = \frac{R^2T_c^{2.5}}{3p_c3(2^{1/3}-1)} $$ $$ a = 0.42748023...\frac{R^2T_c^{2.5}}{p_c} \tag{1.16}$$当サイトに不具合、ご意見等ございましたらCEsolutionにお知らせください。