連立方程式の解法について

連立方程式の解法の基本をまとめていきます。

行列の基本

掃き出し法

行列の基本

基本の行列計算

連立方程式の解法に入る前にまずは行列計算の基本についてまとめておきます。(ひとまずサラッとだけです。落ち着いた時に詳細まとめていきます。)

逆行列(2行2列の場合)

行列例

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$

↓逆行列

$$ \frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$

逆行列の求め方(サラスの方法)

掃き出し法

行列例

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

掃き出し法の適用:\(\bf{AI}\)を\(\bf{IB}\)の形にもっていきます。

$$ AI=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

1行目に\(\frac{1}{a_{11}}\)をかけます。

$$ AI=\begin{pmatrix} 1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{1}{a_{11}} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

2行目、3行目から、それぞれ1行目×\(a_{21}\)、1行目×\(a_{31}\)を引きます。

$$ AI=\begin{pmatrix} 1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{1}{a_{11}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}}{a_{11}} & \frac{a_{23}a_{11}-a_{13}a_{21}}{a_{11}} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & 0\\ 0 & \frac{a_{32}a_{11}-a_{12}a_{31}}{a_{11}} & \frac{a_{33}a_{11}-a_{13}a_{31}}{a_{11}} & -\frac{a_{31}}{a_{11}} & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

2行目に\(\frac{a_{11}}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}}\)をかけます。

$$ AI=\begin{pmatrix} 1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{1}{a_{11}} & 0 & 0\\ 0 & 1 & \frac{a_{11}a _{23}-a_{13}a_{21}}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}} & \frac{-a_{21}}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}} & \frac{a_{11}}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}} & 0\\ 0 & \frac{a_{32}a_{11}-a_{13}a_{31}}{a_{11}} & \frac{a_{33}a_{11}-a_{12}a_{31}}{a_{11}} & -\frac{a_{31}}{a_{11}} & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

1行目、3行目から、それぞれ2行目×\(\frac{a_{12}}{a_{11}}\)、2行目×\(\frac{a_{32}a_{11}-a_{13}a_{31}}{a_{11}}\)を引きます。

画面に収まらなくなってきたので、以下省略します。

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